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证明：连接AD，如图

∵BC为圆O的直径，D在圆O上

∴∠BDC＝90º

∴∠ADC＝190º-∠BDC=90º

∴∠ADE+∠EDC=90º

∵DE垂直AC于点E

∴∠ADE+∠A=90º

∴∠EDC=∠A

又∠EDC=∠ABC

∴∠A=∠ABC

∴AC=BC

又AB=AC

∴AB=AC=BC

∴三角形ABC为等边三角形

连接od，dc，因为de为切线，所以od垂直de，所以od平行ac所以角dob等于角c。因ab等于ac，所以角c等于角b，所以角dob等于角b，因为od，ob为半圆半径，所以ob等于od，所以角dob等于角b等于角bdo，所以三角形obd为等边三角形，所以角b等于六十°，所以角c等于六十°，所以角a等于六十°，所以三角形为等边三角形。

证明：连接CD
因为DE与半圆O相切
所以角ADC=90度
角CDE=角ABC
因为DE垂直AC于E
所以角AED=90度
因为角ADE+角ADE+角BAC=180度
所以角BAC+角ADE=90度
因为角ADC=角ADE+角CDE=90度
所以角BAC=角CDE
所以角BAC=角ABC
所以AC=BC
因为AB=AC
所以AB=AC=BC
所以三角形ABC是等边三角形

证明：链接OD,由于DE垂直于AC和OD。
所以OD平行于AC
所以角DBO=角BOD
因为AB=AC，OD=OB.
所以角BCA=角BOD
所以三角形OD=OB=BD
所以角DBO=角BOD=角OBD=60°
又因为AB=AC
所以△ABC角BCA=角CAB=角ABC=60°
所以：△ABC是等边三角形

连接OD 则有OD⊥DE
∴OD∥AC 又O是BC中点
∴OD=1/2AC
易知△BOD为等边三角形
∴OD=BO=1/BC
∴1/2AC=1/2BC
∴AC=BC
∴AB=AC=BC
∴△ABC为等边三角形