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求高手解答这道数学题！！！

一个圆与y轴相切，在直线y＝x上截得弦长为2√7，圆心在直线x－3y＝0，求此圆的方程。

被浏览: 0次 2023年02月21日 05:35

热门回答（2个）

游客1

解：设，圆方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
因为与y轴相切，所以(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
由在直线y=x上截得弦长为2根7，可以知道在半弦长、圆半径、弦心距组成的直角三角形中，半弦长^2+弦心距^2=圆半径^2
弦心距：圆心到弦的垂线距离，(a,b)到y=x的距离为|b-a|/根号二
7+(1/2)*(b-a)^2=a^2
又圆心在直线x-3y=0上，所以a-3*b=0，两式联立可以求出a、b的值。应该有不止一个解。
a=-3,b=-1-------(x+3)^2+(y+1)^2=9
a=3,b=1---------(x-3)^2+(y-1)^2=9

游客2

解
设圆心（a,a/3),则半径R=|a|
圆心到x-y=0的距离d=|a-a/3|/√2
弦心距，半径，一半的弦长组成一个直角三角形
则：（|2a/3|/√2)^2+(√7)^2=a^2
a^2=9,a=±3
所以圆的方程为（x-3)^2+(y-1)^2=9或者（x+3)^2+(y+1)^2=9

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